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摘要：為了營造建筑復雜表皮，越來越多的建筑外表面使用曲面玻璃幕墻，玻璃冷彎作為曲面玻璃的重要成型手段之一，由于其無需特殊的玻璃加工工藝以及模具開模，可達到實現建筑形體的效果和降低玻璃造價的雙重目標。然而，對于玻璃冷彎產生的玻璃應力的計算，往往采用有限元（詞條“有限元”由行業大百科提供）模擬的方式，對于冷彎形態多樣的異形建筑，全盤有限元驗算將會花費巨大的計算開銷，不利于設計初期的建筑迭代與幾何優化。
為此，本文以彎曲板面應力公式推導為基礎，對于單點翹曲與長邊起拱兩種常見冷彎模式，通過變形后的幾何形態方程，推導出玻璃冷彎產生的彎曲應力，并借用建筑幕墻規范中對于大撓度彎曲薄板的折減系數表格，推導出考慮薄膜應力后的總應力的簡化計算公式，并對公式進行有限元驗證。
此外，對以上兩種常見冷彎模式玻璃應力進行參數分析，得出玻璃冷彎應力主要與玻璃曲率變化量有關的結論，為任意形狀玻璃冷彎應力簡化計算打下基礎。
關鍵詞：玻璃冷彎，幾何非線性，大撓度彎曲薄板
1 引言
曲面表皮的建筑由于其在美學上的價值和建筑表達上的自由，在近年來越來越受到建筑師和業主的青睞，也給作為運用最廣泛的建筑外表皮材料之一的玻璃設計帶來挑戰。
對于曲面玻璃的生產工藝，一般來講有冷彎和熱彎兩種方式：其中冷彎玻璃工藝是指，當玻璃成型之后通過機械方式對于玻璃邊部或者角部施加外力，使玻璃產生變形，使得玻璃終態呈現出的形狀與出廠時的形狀有所區別的彎曲方法;熱彎玻璃工藝則是指，在玻璃在工廠中的制作過程中玻璃原片在加熱軟化的狀態下產生彎曲，冷卻（詞條“冷卻”由行業大百科提供）后呈現彎曲的狀態。
由于熱彎玻璃的復雜工藝，往往需要專門的設備和加工能力，才能實現高質量的熱彎玻璃。故熱彎玻璃的極限板幅大小，嚴重受到熱彎工藝和設備的影響，玻璃單價也根據彎曲的復雜程度和板面大小相比平板玻璃有所不同程度增長，同時，相比平板玻璃，熱彎玻璃的生產周期也大大增加，玻璃的鍍膜選擇也因玻璃彎曲需要受熱而受到限制。此外，由于近年來建筑形體設計更加的自由，甚至漸漸出現全樓板塊均無平板玻璃的狀況，全樓采用熱彎玻璃甚至熱彎多曲玻璃的方法，對工程的造價控制和工程工期均產生巨大的影響。因此，對于彎曲以及翹曲程度尚且有限的玻璃板塊，采用生產與目標形態相近的平板玻璃或者單曲玻璃，隨后在工廠或現場通過機械方式對于玻璃邊框或角部施加外力，使得玻璃產生變形以近似建筑目標表皮形狀，是更加適合于實際工程的彎曲玻璃的方法，其同時達到了實現建筑目標形體的效果和降低玻璃幕墻造價和工期的目標。
玻璃的冷彎是在玻璃加工完成后施加外力產生的，將會使得玻璃內產生額外的內力，且由于玻璃在其使用過程中將一直保持此冷彎力的作用以保持其彎曲造型，此內力需要與玻璃受到的其他荷載(如風荷載)等進行組合，校核玻璃的強度，以保證其安全性。
國內現行關于玻璃和幕墻的規范中，對于玻璃的冷彎計算均未有所提及，目前行業內的標準做法是采用有限元模擬計算軟件中采用殼體單元建模，提取玻璃的原始形狀(玻璃出廠形狀)和目標形狀(冷彎后形狀)，在玻璃的邊部施加強制位移，計算出玻璃的內力，以作為玻璃強度校核依據。然而由于有限元計算開銷較大，處理手段復雜等原因，此方法往往適用于少量典型板塊的計算，即僅對最不利板塊進行校核即可覆蓋全樓最不利工況的情況。對于形狀復雜的項目，往往單獨依靠冷彎玻璃無法滿足最不利工況，需要部分采用冷彎玻璃，部分采用熱彎玻璃，方可實現。對于此類項目，往往需要對于全樓玻璃進行批量計算來確定平板與曲面玻璃分區的情況，由于每塊玻璃的冷彎量和其他荷載(如風荷載、重力分量等)也處處各異，采用包絡的算法無法滿足項目設計的需求，而每塊玻璃板面均采用有限元的計算的方法將耗費巨大的計算開銷，面對此類項目，工程上往往采用規定最大冷彎量的方法來對玻璃進行分區，即對于建筑給定的曲面進行平面（詞條“平面”由行業大百科提供）或圓柱擬合后，測量原曲面與擬合曲面的距離即為玻璃需冷彎量，將此量與給定的可容許冷彎量進行對比，來判斷此板塊是否可以通過冷彎來實現。然而，這種通過控制容許冷彎量的簡化算法忽略了玻璃冷彎的具體形狀、板塊大小、其他荷載的組合等參數的影響，對于容許冷彎量的設定也往往根據保守的經驗和有限的計算，往往無法得到令人滿意的結果。
針對于此，本文將針對于玻璃冷彎的常見情況，進行玻璃冷彎計算的公式推導，旨在找到簡化并精度尚可的手算公式，并對手算公式加以有限元驗證，以便得出滿足工程精度的簡化冷彎玻璃應力手算方法，為冷彎玻璃快速批量計算打下基礎。
2 單片玻璃冷彎應力計算
玻璃冷彎常見的模式往往可以被簡化分解為以下兩種(見圖1)：
(1) 單角翹曲
(2) 對邊起拱
常見的玻璃冷彎變形可被分解為以上兩種形式或其疊加，故將首先分別研究此兩種冷彎模式下玻璃冷彎應力公式。
2.1 單角翹曲冷彎荷載下單片玻璃應力計算簡化公式
對于平板玻璃，最常見的冷彎方式即為單角翹曲(見圖1a)，即在兩條鄰邊固定（詞條“固定”由行業大百科提供）的情況下，將此兩條固定鄰邊夾角的對角角點向玻璃平面外施加強制位移，使玻璃此角點離開玻璃平面，形成玻璃四個角點不共面的馬鞍形曲面。
根據板殼力學理論，薄板小撓度以彎曲為主，而薄板大撓度彎曲情況下，薄板的應變模式為彎曲作用與薄膜作用的結合。對于冷彎荷載下玻璃的應力計算也同樣應該考慮玻璃由于彎曲產生的彎曲應力與玻璃表面由于拉伸（詞條“拉伸”由行業大百科提供）產生的中面薄膜應力的疊加。
2.1.1 單角翹曲冷彎荷載下玻璃彎曲應力
角點翹曲產生的彎曲應力為玻璃冷彎應力的主要組成部分，其產生原因是由于平板玻璃角點翹曲，使得玻璃表面產生彎曲變形，進而形成彎矩以及上下表面的彎曲應力。對于翹曲量較小的情況，即大多數的冷彎工程案例中，此冷彎后曲面近似于一個雙曲拋物面，而當冷彎量大于一定值時玻璃面產生屈曲失穩，導致其形狀與雙曲拋物面產生較大差距[2]。絕大多數工程中涉及到的玻璃冷彎量遠小于玻璃面產生屈曲失穩的臨界冷彎量，本文中僅研究工程中經常涉及到的冷彎荷載范圍內的玻璃應力計算。
基于此假設，對于翹曲量較小的情況，我們可以根據雙曲拋物面方程對玻璃變形后的主曲率進行推導。對于邊長分別為 和 的矩形板面，當角部翹曲量為 時，其對應的雙曲拋物面(見圖2)方程為：
對于玻璃角點翹曲產生的彎曲作用導致的玻璃應力在玻璃上不同位置的分布，可以通過以上公式中帶入全板面不同位置的 進行對比。取較典型的玻璃幕
墻板塊(4500mmx1750mm)，角部翹曲100mm，玻璃厚度10mm為例，代入板塊中不同位置坐標，計算得到的應力分布如下：
由結果可見，玻璃角點翹曲產生的薄板變形，其中僅考慮彎曲作用導致的玻璃應力在整個板面上的分布比較均勻。從工程角度出發，可以忽略不同部位應力的差別，可用(0,0)點處計算得到的應力代表整個板面的最不利彎曲應力。
2.1.2 單角翹曲冷彎荷載下玻璃薄膜應力
由板殼力學理論可知，當板面撓度與板面厚度之比不大于1/5時，歸結為小撓度問題，當超出此比值時，即為大撓度問題，即需考慮幾何非線性的影響，其中面應力(薄膜應力)需要被考慮在內，以驗證玻璃的強度。冷彎玻璃角點翹曲量往往會大于板面厚度的1/5，如忽略此薄膜應力往往造成玻璃內應力的低估，故此處需要對薄膜應力進行計算與考慮。
對于薄膜應力的計算，其理論推導公式較為復雜，在工程上應用較為不便。對于四邊支撐的玻璃板，在建筑幕墻工程規范中，將玻璃的薄膜應力產生的效應與玻璃變形的關系用表格的方式表示出來(見表2)，可通過查表的方式考慮薄膜效應對于玻璃板面應力和變形的有利作用[1]。對于玻璃冷彎產生的薄膜應力，可利用此表格，通過將冷彎變形狀態近似等效為四邊支撐玻璃板的變形狀態，進而根據變形量相關參數查表反推薄膜應力產生的放大效應。
具體而言，根據《玻璃幕墻工程技術規范》中公式，四邊支撐承受均布荷載使得玻璃產生大撓度彎曲導致的薄膜應力的折減系數可通過參數 進行查表得到[1]。為了在單點翹曲冷彎工況下使用此表格，需根據冷彎的變形量推導出等效的參數 。
2.1.3 單角翹曲冷彎荷載下單片玻璃應力簡化公式有限元驗證
為了驗證以上公式的準確性以及適用條件，對于典型的板面單角翹曲冷彎工況，利用Ansys軟件建立有限元模型施加角部翹曲荷載，與以上玻璃應力公式計算的結果進行對比。對于典型板塊的尺寸以及翹曲量見表4。
利用Ansys 18.1，采用SHELL181單元模擬玻璃面，玻璃基本尺寸取4500mmx 1750mm板塊，玻璃厚度為10mm，玻璃采用
彈性材料單元，
楊氏模量為72000MPa，
泊松比（詞條“泊松比”由行業大百科提供）取0.2，有限元網格
密度為100mm。玻璃板塊的邊界條件與荷載見圖3：為了約束轉動自由度，使玻璃板塊成為靜定結構，束縛A點在玻璃平面內的自由度， B點束縛沿玻璃長邊方向自由度，以及C點束縛沿玻璃短邊方向自由度，D點施加角部翹曲量d。
為了考慮玻璃板面的薄膜應力，需激活幾何非線性的影響，使用Ansys軟件，計算表4中的16個板面，提取每個板面的上下表面上主應力的最大值，進行統計。選取樣板編號4#，8#，12#，16#有限元計算板面的變形以及應力分布圖如圖4。
將以上有限元計算中各個板面的最大應力與公式計算應力進行對比，對比表格見表5，對比曲線見圖5：
由以上計算結果，可見得出以下結論：
(1) 對于相同尺寸的玻璃板塊與相同的角點冷彎量，計入幾何大變形與不計幾何大變形情況下，玻璃表面的應力分布有所不同。通過計算對比發現，計入薄膜應力后，玻璃中部應力有所下降，玻璃邊部應力有所提高，其計入幾何大變形后計算出的玻璃表面最大應力出現在玻璃的邊緣，并略大于純彎曲應力。此現象進一步說明單點翹曲的玻璃為大撓度變形，計算需要充分考慮薄膜應力的影響，才能正確的反應玻璃的內力情況。
(2) 由表5以及圖5可見，對于相同的玻璃厚度，冷彎應力的大小與板塊主曲率呈正比趨勢。由此可見，相同冷彎量下冷彎應力的大小與板塊的大小相關，即對于相等的冷彎量，玻璃板塊越小，對角線長度越短，應力越大。此結論對于工程上具有指導意義，即對于冷彎量的限制應考慮玻璃的板面大小，即應控制冷彎量與板面對角線的比值，而非單純的控制冷彎量的絕對值。此結論有利于幫助工程師在項目初期判斷彎曲玻璃的策略以及對冷彎玻璃或熱彎玻璃進行分區。
(3) 由圖5可見，公式計算與有限元計算結果相近，誤差小于15%。另外，對于角點翹曲量小于1/40玻璃對角線長(即角點翹曲量與對角線長比值小于0.025)的板塊，公式計算結果均大于有限元計算結果，即公式計算可以保持比較好的精度且偏保守;對于角點翹曲量大于1/40玻璃對角線長的板塊，公式計算結果稍小于有限元計算結果，即公式計算不夠保守，即對于10mm厚的玻璃板塊，以上公式的適用范圍為翹曲量小于1/40對角線長。建議工程中對于特定的玻璃板塊厚度，首先根據有限元方法判定此公式的翹曲量限值，以確定公式的適用范圍，以便更準確和保守的應用。
2.2 對邊起拱冷彎荷載下單片玻璃應力計算簡化公式
2.2.1 對邊起拱冷彎荷載下單片玻璃彎曲應力
對于對邊起拱狀的冷彎形式，以彎曲應力為主。根據簡支梁的彎矩與曲率的關系，此變形狀態下板面彎矩為：
2.2.2 對邊起拱冷彎荷載下單片玻璃應力計算簡化公式的有限元驗證
類似于角點翹曲冷彎，同樣利用Ansys軟件建立有限元模型施加玻璃對邊起拱冷彎荷載，與以上玻璃應力公式計算的結果進行對比。對于典型板塊的尺寸以及翹曲量見表4。
類似于角點翹曲有限元計算，考慮大撓度變形，即幾何非線性的影響，使用Ansys軟件，計算以上10個板面，提取每個板面的上下表面上主應力的最大值，進行統計。選取樣板編號2#，5#，9#有限元計算板面的變形以及應力分布圖如圖6：
將以上有限元計算中各個板面的最大應力與公式計算應力進行對比，對比表格見表7，對比曲線見圖7：
由以上計算結果，可見得出以下結論：
(1) 類似于角點冷彎，對于相同的玻璃板塊與相同的冷彎量，計入幾何大變形與不計幾何大變形的計算對比發現其玻璃表面的應力有所不同，即計入薄膜應力后，玻璃中部應力有所下降，玻璃邊部應力有所提高，其最大應力出現在玻璃的邊緣，并略大于彎曲應力。此現象進一步說明邊部起拱冷彎玻璃亦為大撓度變形，計算需要充分考慮薄膜應力的影響，才能正確的反應玻璃的內力情況。
(2) 由圖7可見，對于相同的玻璃厚度，冷彎應力的大小與板面彎曲主曲率呈正比趨勢。對于工程實際，可以通過控制起拱量與起拱邊邊長的關系，作為初步評估允許冷彎量以及區分冷彎玻璃和熱彎玻璃的界限的評估標準。
(3) 由圖7可見，公式計算與有限元計算結果相近但略有偏差。對于小翹曲量計算，公式計算略小于有限元計算，是因為邊部起拱應力最大值對玻璃有限元單元大小以及施加冷彎強制位移的點位距離模擬等較為敏感(見圖6a)，當冷彎量較小應力較小的情況下，在施加冷彎應力的作用點處會出現一定程度的應力在局部偏大的現象，可認為是數值模擬的偏差;另外，手算公式由于采用簡支梁應力與變形公式，即計算時考慮平截面假定成立，然而，由變形圖可見，由于冷彎荷載僅施加在玻璃邊緣處，在玻璃中部位置玻璃的變形和應力均小于邊部，呈現不均勻分布的特點，平截面假設不再成立，此現象也為手算與有限元計算略有差別的原因。由圖7可見，此數值模擬以及玻璃跨中與邊部不一致的偏差對于擁有較大冷彎量的板塊不明顯，且對于大冷彎量情況，手算計算結果偏保守。
綜上所述，在實際應用中，采用以上公式用于初判對邊起拱的冷彎應力計算是可以適用的。如對計算精度有較高要求，仍建議采用有限元方法進行復核。
2.3 單點翹曲與對邊起拱冷彎對比
根據上述研究結果，對于相同尺寸和厚度的玻璃板塊，分別將相同的冷彎量d施加在玻璃上，即最大冷彎量d位于玻璃的角點處(工況一)和最大冷彎量d位于玻璃長邊起拱拱高處(工況二)。運用以上公式，對比以上兩種工況下玻璃表面產生的最大主應力值，以及提取計算過程中玻璃彎曲的曲率半徑。計算結果匯總見表8.
將兩種冷彎形式導致玻璃彎曲的曲率半徑與玻璃表面最大主應力的關系繪制在同一張圖表中，如圖7所示。
由以上結果可以看出，對于同樣尺寸和厚度的玻璃，對于玻璃施加相同的最大冷彎量，此冷彎量施加在單個玻璃角點所產生的玻璃應力遠小于將此冷彎量施加于玻璃邊長中點使其玻璃起拱產生的應力。這是由于玻璃冷彎產生的應力主要是由于玻璃彎曲導致的，相同的冷彎量如果作用在玻璃單個角點，使得整個玻璃產生的曲率較小從而應力較小，而玻璃對邊起拱會導致玻璃產生較大的曲率從而應力較大。通過將兩種冷彎變形產生的玻璃彎曲曲率半徑與玻璃主應力的關系進行對比(見圖8),可以發現，無論是何種形式的冷彎，其冷彎應力與玻璃曲率半徑呈相近的相關關系。可以推測，對于任意形狀冷彎玻璃，也可以通過量化玻璃冷彎變形前后曲率的最大變化量的方法初步估算該玻璃的冷彎應力，以滿足工程初步設計的要求。
工程上的傳統做法中，往往不考慮玻璃板塊大小和冷彎的具體形態，對比目標曲面與原始曲面的最大差值作為玻璃面最大冷彎量，無論此最大冷彎量出現在角點或是邊部，無區別地將此最大冷彎量與容許冷彎量進行對比，作為判定板面是否可以通過冷彎來實現的依據。然而，通過以上結果可知，對于不同的冷彎形態，相同的最大冷彎量可能產生截然不同的內力分布，最大內力可能會有成倍的區別，采用同一容許冷彎量來進行玻璃選型判定的方法并不科學。
根據本文的研究成果，對于符合以上兩種常見冷彎形式的玻璃，可配合幾何參數提取的方法，通過平板擬合方式，可以方便的提取出每片玻璃板塊的單點翹曲值和近似對邊起拱值，利用公式(11)與(16)，可快速估算出玻璃的冷彎應力。同時，公式的運用相比有限元的方式更加便捷，對于冷彎形態各異的建筑形態，對于玻璃容許應力的判定將不再依賴于制定容許冷彎量這個有局限性的方法，也不必在初步設計階段為了獲得正確的計算結果耗費大量的計算資源進行全樓玻璃有限元計算。運用以上方法，即可方便的對每片玻璃的應力進行初步判定，以指導玻璃類型分區以及指導建筑與幕墻設計。
另外，通過以上公式推導和算例的對比，發現玻璃的冷彎應力與玻璃曲率變化量有直接關系，此結論也給任意形狀冷彎計算以及非平板玻璃冷彎計算打下理論基礎，作為深化研究計算的開端。
3 結論
為了適應日益復雜的建筑外立面的設計以及滿足大批量玻璃冷彎計算的需求，本文從玻璃冷彎變形的原理出發，考慮幾何非線性的影響，通過玻璃彎曲形狀計算彎曲應力以及通過規范公式等效簡化計算薄膜應力的方法，對于常見的冷彎類型(單點翹曲和長邊起拱)，推導出簡單易行的玻璃冷彎應力計算公式，并通過有限元軟件非線性計算，驗證了簡化公式的準確性和保守性，并界定了簡化公式的應用范圍。
本文中進一步運用以上簡化公式，對角點翹曲冷彎與邊部起拱冷彎產生的應力進行參數分析，發現在相同最大冷彎量下，以上兩種冷彎形式造成的玻璃應力差距大，即玻璃的冷彎應力與玻璃彎曲最大曲率而非最大冷彎量息息相關，故傳統方法中不加區分冷彎形式采用單一最大冷彎量來作為玻璃冷彎界限值的方法來對建筑物玻璃類型選擇(冷彎玻璃與熱彎玻璃選擇)并不準確，而需根據實際玻璃冷彎形式和板面尺寸等來區別對待。為了減少根據玻璃實際復雜形態建立大量有限元模型計算帶來的巨大計算代價，本文中較高精度的簡化公式給工程上快速批量計算異形冷彎帶來了可能性。另外，通過參數分析的統計發現，兩種截然不同的冷彎形式下，相同厚度的玻璃冷彎應力與彎曲曲率之間的函數關系基本一致，此結論也為任意形狀冷彎計算以及曲面玻璃冷彎計算簡化公式的推導，奠定了基礎。
參考文獻
[1]. 《玻璃幕墻工程技術規范》JGJ102-2003,2003,中華人民共和國建設部
[2]. L. Galuppi, S Massimiani, G Royer-Carfagni, Buckling phenomena in double curved cold-bent glass, International Journal of Non-Linear Mechanics, 64(2014) 70-84
作者單位：阿法建筑設計咨詢(上海)有限公司
